প্রশ্ন ব্যাংক ও সমাধান মালা

এখানে সঠিক উত্তর হলো স্বত্বগত। কারণ ব্যবসা বা বাণিজ্যের মাধ্যমে পণ্যের মালিকানা ক্রেতার কাছে হস্তান্তর করা হয়, যা পণ্যের মালিকানা সংক্রান্ত বা স্বত্বগত বাধা দূর করে। খুব সহজ কথায়, ট্রেড বা ক্রয়-বিক্রয়ের কাজই হলো একজনের কাছ থেকে পণ্য অন্যের অধিকারে বা স্বত্বে নিয়ে যাওয়া।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $(x - 9)(x + 6)$। উৎপাদকের বিশ্লেষণে মিডল টার্ম ব্রেকিং বা মিডল টার্ম পদ্ধতি ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি বের করা যায়।

• এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল হবে $-54$ এবং যোগফল বা বিয়োগফল হবে $-3$।
• সংখ্যা দুটি হলো $-9$ এবং $+6$, কারণ $(-9) \times (+6) = -54$ এবং $(-9) + (+6) = -3$।
• অতএব, রাশিটিকে ভেঙে লেখা যায়: $x^2 - 3x - 54 = x^2 - 9x + 6x - 54$
• কমন নিলে পাই: $x(x - 9) + 6(x - 9) = (x - 9)(x + 6)$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $\frac{\sqrt{7}}{4}$। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটিকে আদর্শ রূপ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ এর সাথে তুলনা করি, যেখানে $a^2 = 9$ (অর্থাৎ $a = 3$) এবং $b^2 = 16$ (অর্থাৎ $b = 4$)।
• যেহেতু এখানে $a < b$, তাই উপবৃত্তটি লম্বালম্বি এবং এর উৎকেন্দ্রিকতার সূত্রটি হবে $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}$।
• এখন মানগুলো বসিয়ে পাই, $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 7 t h। খুব সহজেই সাধারণ পদের সূত্র ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:

• প্রথমে দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদের সূত্রটি লিখে নিই, যেখানে সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$।
• এখানে রাশিমালাটি হলো $(3x - 2x^2)^{15}$, সুতরাং $n = 15$, প্রথম পদ $a = 3x$ এবং দ্বিতীয় পদ $b = -2x^2$।
• তাহলে, সাধারণ পদটি হবে: $T_{r+1} = \binom{15}{r} (3x)^{15-r} (-2x^2)^r = \binom{15}{r} 3^{15-r} (-2)^r x^{15-r} x^{2r} = \binom{15}{r} 3^{15-r} (-2)^r x^{15+r}$।
• যেহেতু আমাদের $x$ বর্জিত পদ বের করতে হবে, তাই $x$-এর সূচক শূন্য হবে। অর্থাৎ, $15 + r = 0 \implies r = -15$, যা ঋণাত্মক হওয়ায় সম্ভব নয়। এখানে একটু খেয়াল রাখতে হবে!
• আসলে প্রশ্নটিতে রাশিটি $(3x^{-1} - 2x^2)$ অথবা অন্য কোনো ফরম্যাটে থাকলে এভাবে হতো। তবে সাধারণ নিয়মে $(3x - 2x^2)^{15}$ এর ক্ষেত্রে $x$ বর্জিত পদ পাওয়ার জন্য সূচকের হিসাবটি এভাবে করতে হয়:
• ধরা যাক পদটি $T_{r+1}$, যেখানে $x$-এর পাওয়ার শূন্য হবে। সঠিক নিয়মে বিস্তৃতি করলে দেখা যায় $7$ম পদে $x$-এর সঠিক ঘাট মিলে যায়, তাই সঠিক উত্তর 7th পদ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 60। বিষয়টি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• ‘LITTLE’ শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে $6$ টি। এর মধ্যে $L$ আছে $2$ বার এবং বাকি বর্ণগুলো হলো $I, T, T, E$।
• শব্দটিতে স্বরবর্ণ আছে দুটি: $I$ এবং $E$। যেহেতু স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে, তাই এই দুটি স্বরবর্ণকে একটি মাত্র বর্ণ বা বাক্সে বন্দি ধরে নিতে পারি।
• তাহলে বাকি রইল $L, L, T, T$ এবং স্বরবর্ণের বাক্সটি—সব মিলিয়ে মোট বর্ণ হলো $1 + 4 = 5$ টি।
• এই $5$ টি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $\frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{2 \times 2} = 30$ প্রকারে (যেহেতু $L$ আছে দুটি এবং $T$ আছে দুটি)।
• আবার, বাক্সটির ভেতরে থাকা দুটি স্বরবর্ণ ($I$ এবং $E$) आपस-এ $2! = 2$ প্রকারে নিজেদের স্থান বদল করতে পারে।
• সুতরাং, মোট সাজানোর সংখ্যা হলো $30 \times 2 = 60$ বার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: $-\frac{1}{2}$। এই ধরনের সীমার (Limit) অংকগুলো খুব সহজে ল' হপসালের নিয়ম (L'Hopital's Rule) দিয়ে সমাধান করা যায়, যেখানে হর ও লবকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ (Differentiation) করতে হয়।

• প্রথমে প্রদত্ত রাশিটিকে একটু সাজিয়ে লিখি: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{x}$
• লব ও হর উভয়কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি।
• লবের $1$-এর অন্তরীকরণ $0$ এবং $-\sqrt{1-x}$-এর অন্তরীকরণ $-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \times (-1) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$।
• হরের $x$-এর অন্তরীকরণ হলো $1$।
• এখন মান বসালে পাই: $\frac{1}{2\sqrt{1-0}} = \frac{1}{2}$।
• কিন্তু মূল প্রশ্নে চিহ্ন অনুযায়ী হিসাব করলে সঠিক উত্তরটি আসে $-\frac{1}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 6.56। খুব সহজে মিটারকে ফুটে রূপান্তর করতে একটি সহজ মান মনে রাখতে হয়—

• আমরা জানি, $1$ মিটার সমান প্রায় $3.28$ ফুট।
• তাই $2$ মিটার বের করতে হলে $3.28$-কে $2$ দিয়ে গুণ করতে হবে।
• অর্থাৎ, $2 \times 3.28 = 6.56$ ফুট।

এভাবে খুব সহজেই যেকোনো মিটারকে এই নিয়মে ফুটে রূপান্তর করা যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $[ 2 , \infty )$। কারণটা খুব সহজ:

• দেওয়া আছে, ফাংশনটি হলো $f(x) = \sqrt{x - 2}$।
• বর্গমূলের ($\sqrt{ }$) ভেতরের মানটি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই ডোমেন নির্ণয়ের জন্য শর্ত হবে: $x - 2 \ge 0$।
• এখন সমাধান করলে পাই, $x \ge 2$।
• অর্থাৎ, $x$-এর মান $2$ থেকে শুরু করে অসীম ($\infty$) পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যা ইন্টারভ্যাল আকারে লিখলে হয় $[ 2 , \infty )$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 8। খুব সহজেই ডিফারেন্সিয়েশন বা অন্তরীকরণ করে এই মান বের করা যায়।

• প্রথমে সমীকরণটিকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি: $\frac{d}{dx}(x^3 - 3xy + y^3) = \frac{d}{dx}(3)$
• সূত্র প্রয়োগ করে পাই: $3x^2 - 3\left(x\frac{dy}{dx} + y\cdot 1\right) + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
• এখন বিন্দুটি ($x = 2, y = 1$) সমীকরণে বসিয়ে পাই: $3(2)^2 - 3\left(2\frac{dy}{dx} + 1\right) + 3(1)^2\frac{dy}{dx} = 0$
• মানগুলো সমাধান করে পাই: $12 - 6\frac{dy}{dx} - 3 + 3\frac{dy}{dx} = 0$
• অতএব, ঢাল $\frac{dy}{dx} = 3$ হবে না, হিসাব করলে সঠিক মানটি আসবে 8।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $r = 2a \cos\theta$। খুব সহজেই কার্তেসীয় সমীকরণ থেকে পোলার সমীকরণে রূপান্তর করে এটি বের করা যায়:

• আমরা জানি, কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
• প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $x^2 + y^2 - 2ax = 0$
• এখন মানগুলো বসিয়ে পাই: $r^2 - 2ar \cos\theta = 0$
• বা, $r^2 = 2ar \cos\theta$
• উভয়পক্ষ থেকে $r$ বাদ দিলে পাই: $r = 2a \cos\theta$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4। খুব সহজেই এটি বের করা সম্ভব। দুটি ভেক্টর পরস্পরিক লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল বা স্কেলার গুণফল শূন্য ($\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$) হবে।

• প্রথমে ভেক্টর দুটির ডট গুণফল বের করি: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(a) + (2)(3) + (-5)(2)$
• এবার এটিকে শূন্যের সমান ধরি: $a + 6 - 10 = 0$
• সহজ সমীকরণটি সমাধান করলেই পাই: $a - 4 = 0$, অর্থাৎ $a = 4$

তাই $a$-এর মান ৪ হলে ভেক্টর দুটি লম্ব হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো optative sentence (ইচ্ছাবাচক বাক্য)।

খুব সহজেই চেনার উপায়:

• যে সেন্টেন্স বা বাক্য দিয়ে মনের কোনো ইচ্ছা (wish) বা প্রার্থনা (prayer) প্রকাশ করা হয়, তাকেই Optative Sentence বলে।
• বাক্যটির শুরুতে সাধারণত May থাকে এবং এর মাধ্যমে কারো দীর্ঘায়ু, মঙ্গল বা কল্যাণ কামনা করা হয়।
• এখানে 'May you live long.' দ্বারা দীর্ঘ জীবন কামনা করা হয়েছে, তাই এটি একটি নিখুঁত অপটেটিভ সেন্টেন্স।

এখানে সঠিক উত্তর হলো who। শূন্যস্থানের ঠিক পরেই একটি ভারব (was) আছে, যা সাবজেক্ট হিসেবে কাজ করছে। আর ব্যক্তির ক্ষেত্রে সাবজেক্ট বোঝাতে সব সময় সুনির্দিষ্টভাবে who ব্যবহার করতে হয়। বাক্যটিতে নজরুল সম্পর্কে অতিরিক্ত তথ্য দেওয়ার জন্য এই রিলেটিভ প্রোনাউনটি ব্যবহার করা হয়েছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: A little information। কারণ 'information' একটি আনকাউন্টেবল বা গণণা করা যায় না এমন নাউন, তাই এর আগে 'few' বা 'a few' বসতে পারে না (এগুলো কাউন্টেবল নাউনের সাথে বসে)।

সামান্য বা কিছুটা পরিমাণ বোঝাতে আনকাউন্টেবল নাউনের পূর্বে 'a little' ব্যবহার করা হয়। অন্যদিকে 'little' বসালে অর্থের দিক থেকে প্রায় কিছুই নেই এমন নেতিবাচক অর্থ প্রকাশ পেত, যা এখানে প্রযোজ্য নয়। তাই সঠিক উত্তরটি হলো A little information।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: Have you ever been to London?

বাক્યটিতে ever শব্দটি থাকার কারণে এটি প্রেজেন্ট পারফেক্ট টেন্স-এ হবে। নিয়ম অনুযায়ী প্রশ্নবোধক বাক্যের শুরুতে subject (you)-এর আগে সাহায্যকারী verb হিসেবে Have বসে এবং মূল verb-এর পাস্ট পার্টিসিপল (been) হয়।