প্রশ্ন ব্যাংক ও সমাধান মালা

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\sin \frac{A}{2}$। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$ হয়।
• উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করলে পাই, $\frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$।
• এখন প্রদত্ত রাশিতে মান বসালে পাই, $\cos\left(\frac{B + C}{2}\right) = \cos\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)$।
• আমরা জানি, $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$, তাই এর মান হবে $\sin \frac{A}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ০। বিষয়টি খুব সহজে সমাধান করা যায় বহুপদী সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্কের সূত্র দিয়ে।

চতুর্ঘাত সমীকরণটি হলো:

$$x^4 + 3x^3 + 5x + 6 = 0$$

খেয়াল করো, এখানে $x^2$ এর কোনো পদ নেই, অর্থাৎ $x^2$ এর সহগ শূন্য। মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ হলে, দুটি করে মূলের গুণফলের সমষ্টি $\sum \alpha\beta$ হলো $x^2$ এর সহগ এবং $x^4$ এর সহগের অনুপাত।

• সমীকরণটির সাধারণ রূপ থেকে পাই, $x^2$ এর সহগ $= 0$
• অতএব, $\sum \alpha\beta = \frac{0}{1} = 0$

এভাবেই খুব দ্রুত ও সহজে শর্টকাট নিয়মে এর মান বের করা যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 1365। খুব সহজেই দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:

• প্রথমে দ্বিপদী রাশিটির সাধারণ পদের সূত্রটি লিখে ফেলি, যেখানে সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$।
• এখানে রাশিটি হলো $\left(x^4 - \frac{1}{x^3}\right)^{15}$, যার ক্ষেত্রে $n = 15$, প্রথম পদ $a = x^4$ এবং দ্বিতীয় পদ $b = -\frac{1}{x^3}$।
• সাধারণ পদটিতে মানগুলো বসালে পাই: $$\binom{15}{r} (x^4)^{15-r} \left(-\frac{1}{x^3}\right)^r = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r} = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}$$
• আমাদের $x^{32}$ এর সহগ বের করতে হবে, তাই সূচক সমান করে পাই: $60 - 7r = 32$ বা $7r = 28$, অর্থাৎ $r = 4$।
• এখন $r = 4$ বসালে সহগটি দাঁড়ায়: $\binom{15}{4} (-1)^4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \times 1 = 1365$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 180। প্রশ্নটা খুব সহজ, একটু বুদ্ধি খাটালেই সমাধান করা যায়:

• CALCULUS শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৮টি। এর মধ্যে $C$ আছে ২টি, $L$ আছে ২টি, $U$ আছে ২টি এবং বাকিগুলো আলাদা।
• শর্ত অনুযায়ী, প্রতিটি বিন্যাসের প্রথম ও শেষ অক্ষর নির্দিষ্ট—অর্থাৎ দুটো জায়গাতেই U বসবে।
• তাহলে মাঝne ফাঁকা থাকে $8 - 2 = 6$ টি ঘর, যেখানে বসবে বাকি ৬টি অক্ষর ($C, C, A, L, L, S$)।
• এই ৬টি অক্ষরের মধ্যে $C$ আছে ২টি এবং $L$ আছে ২টি।
• তাই মাঝের অক্ষরগুলোর সাজানোর উপায়ের সংখ্যা হবে: $$\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{2 \times 2} = \frac{720}{4} = 180$$

অতএব, নির্ণয় করা বিন্যাস সংখ্যা হলো 180টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -300%। খুব সহজে এবং দ্রুত এটি বের করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটিকে সরলরেখার আদর্শ আকারে আনতে হবে: $-4x + 3y = 12$
• উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা ভাগ করে পাই: $\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} = 1$
• এখানে এক্স অক্ষের খণ্ডিত অংশটি হলো $-3$।
• শতকরায় রূপান্তর করতে হলে $-3$ কে $100$ দ্বারা গুণ করতে হয়, যা হলো $-300\%$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স। কারণ ম্যাট্রিক্সের ভাষায়, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $A$-কে বর্গ করলে অর্থাৎ $A^2 = I$ (যেখানে $I$ হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স বা Identity Matrix) হলে, সেই ম্যাট্রিক্সটিকে বলা হয় অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স (Involutory Matrix)।

• শর্তটি হলো: $A^2 = I$
• যেহেতু বর্গ করার পর অভেদক ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, তাই এটি অভেদঘাতি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $2.5 \times 10^{-20}\text{ J}$। খুব সহজেই গতিশক্তির সূত্র ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:

• তাপমাত্রা $T = 30^\circ\text{C} = (30 + 273)\text{ K} = 303\text{ K}$
• স্বাধীনতার মাত্রা $f = 12$
• বোল্জম্যান ধ্রুবক $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\text{ J K}^{-1}$
• মোট গতিশক্তির সূত্র: $E = \frac{f}{2} k_B T$
• মানগুলো বসিয়ে পাই, $E = \frac{12}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 303 \approx 2.5 \times 10^{-20}\text{ J}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো BJT (Bipolar Junction Transistor)।

বিষয়টা খুব সহজে এভাবে মনে রাখতে পারো:

• BJT-এর মাঝখানের স্তরটি বেস (Base) হিসেবে কাজ করে এবং এটি সবসময় পি-টাইপ বা এন-টাইপ অর্ধপরিবাহী দ্বারা গঠিত হয়।
• যেহেতু এর মাঝের অর্ধপরিবাহীটি p-টাইপের হয়, তাই এটি একটি নির্দিষ্ট ধরনের BJT (যেমন- PNP ট্রানজিস্টর) তৈরি করে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ওয়েবার। চৌম্বক ফ্লাক্সের এসআই (SI) একক হলো ওয়েবার (Weber), যাকে সংক্ষেপে $\text{Wb}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বিষয়টি খুব সহজভাবে মনে রাখতে পারੋ— চৌম্বক ক্ষেত্ররেখার মোট পরিমাণকেই চৌম্বক ফ্লাক্স বলা হয়, যার পরিমাপের একক হলো এই ওয়েবার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $2.88 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}$। কোনো মাধ্যমে আলোর বেগ নির্ণয় করার শর্টকাট সূত্রটি হলো খুবই সহজ।

• প্রথমে আলোর বেগের সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে: $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$
• শূন্য মাধ্যমে আলোর বেগ, $c = 3 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}$
• দেওয়া আছে, আপেক্ষিক চৌম্বক প্রবেশ্যতা $\mu_r = 1.08$ এবং আপেক্ষিক তড়িৎ ভেদনযোগ্যতা $\varepsilon_r = 1.005$
• মানগুলো বসিয়ে হিসাব করলে পাই: $v = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1.08 \times 1.005}} = 2.88 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0.5 Hz। কারণ খুব সহজ, একটু হিসাব করলেই এটা বের করা যায়:

• সেকেন্ড দোলক মানে হলো যে দোলকটার একটি পূর্ণ দোল দিতে ঠিক ২ সেকেন্ড সময় লাগে। অর্থাৎ, এর পর্যায়কাল $T = 2\text{ s}$।
• আমরা জানি, কম্পাঙ্ক ($f$) হলো পর্যায়কালের উল্টো, অর্থাৎ $f = \frac{1}{T}$।
• এখন মান বসিয়ে পাই, $f = \frac{1}{2}\text{ s}^{-1} = 0.5\text{ Hz}$।

তাই সেকেন্ড দোলকের কম্পাঙ্ক সবসময় 0.5 Hz হয়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 1 minute। তেজস্ক্রিয়তার অংকগুলো খুব সহজেই শর্টকাটে করা যায়, চলো দেখে নেওয়া যাক কীভাবে:

• মৌলটির $\frac{15}{16}$ অংশ ক্ষয় হয়ে যাওয়ার অর্থ হলো অবশিষ্ট আছে $1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$ অংশ।
• এখন ভগ্নাংশটিকে অর্ধায়ুর ভিত্তিতে ভাঙলে পাই: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4$।
• এর মানে হলো, এই ক্ষয় হতে মোট $4$ বার অর্ধায়ু পার করতে হয়েছে।
• যেহেতু মোট সময় লাগে $4$ মিনিট, তাই একটি অর্ধায়ুর মান হলো $\frac{4 \text{ মিনিট}}{4} = 1 \text{ মিনিট}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 56.83°। ব্রুস্টার সূত্র অনুযায়ী সমবর্তন কোণ বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো মাধ্যমটির প্রতিসরাঙ্ক ($\mu$) নির্ণয় করা।

• প্রথমে আপতন কোণ $i = 52^\circ$ এবং প্রতিসরণ কোণ $r = 31^\circ$ এর সাহায্যে প্রতিসরাঙ্ক বের করি:
• $$\mu = \frac{\sin 52^\circ}{\sin 31^\circ} = \frac{0.788}{0.515} \approx 1.53$$
• এবার ব্রুস্টার সূত্রানুযায়ী সমবর্তন কোণ ($\theta_p$) হবে:
• $$\theta_p = \tan^{-1}(1.53) \approx 56.83^\circ$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{W}{g}$ (যাকে অপশনে $W g$ বা এরূপ আকারে লেখা হয়েছে)। বিষয়টি একদম সহজ:

• আমরা জানি, ওজন ($W$) হলো ভর ($m$) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$)-এর গুণফল। অর্থাৎ, সূত্রটি হলো: $W = mg$
• এখান থেকে ভরের মান বের করতে চাইলে $g$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
• তাহলে ভর, $m = \frac{W}{g}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 90°।

কাজ শূন্য হওয়ার বিষয়টি খুব সহজে এভাবে মনে রাখতে পারো:

• কাজের সূত্রটি হলো: $W = Fs \cos\theta$
• বল ($F$) এবং সরণ ($s$) এর মধ্যবর্তী কোণ যখন $90^\circ$ হয়, তখন $\cos(90^\circ) = 0$ হয়ে যায়।
• তাই কাজের মানও সম্পূর্ণ শূন্য হয়ে দাঁড়ায় ($W = 0$)।