প্রশ্ন ব্যাংক ও সমাধান মালা

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০। হিসাবটি একদম সহজ:

• ১ ডজন = ১২টি এবং ১ হালি = ৪টি। অর্থাৎ ১ ডজনে থাকে মোট ৩ হালি।
• ৩ হালি কমলার ক্রয়মূল্য $75$ টাকা হলে, ১ হালির ক্রয়মূল্য = $\frac{75}{3} = 25$ টাকা।
• ২০% লাভে ১ হালিতে লাভ হবে = $25 \times \frac{20}{100} = 5$ টাকা।
• অতএব, প্রতি হালি বিক্রয় করতে হবে = $25 + 5 = 30$ টাকায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০২ টাকা। হিসাবটা একদম সহজ:

• ১৫% ছাড়ের পর বইটির প্রকৃত দাম থাকে মোট মূল্যের $100\% - 15\% = 85\%$।
• অতএব, বইটি ক্রয় করার জন্য দিতে হবে ১২০ টাকার $85\%$।

গাণিতিক হিসাব: $120 \times \frac{85}{100} = 102$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১১ টাকা। খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি করা যাক:

• ৮টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য $5$ টাকা হলে, ১৬টি দ্রব্যের (দ্বিগুণ) ক্রয়মূল্য হবে $(5 \times 2) = 10$ টাকা।
• ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য হবে মোট ক্রয়মূল্যের $110\%$।
• অতএব, ১৬টি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = $10 \times \frac{110}{100} = 11$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪টি। হিসাবটা খুব সহজ!

• ১৫টি ছাগলের দাম ৩টি গরুর সমান হলে, ১টি গরুর দাম হবে $15 \div 3 = 5$টি ছাগলের সমান।
• অর্থাৎ, প্রতি ৫টি ছাগলের বদলে ১টি গরু পাওয়া যায়।
• সুতরাং, ২০টি ছাগলের বদলে গরু পাওয়া যাবে: $20 \div 5 = 4$টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 25। সরল মুনাফার সূত্র ব্যবহার করেই খুব সহজে মানটি বের করা যায়।

আমরা জানি, সরল মুনাফা $I = \frac{P \times r \times n}{100}$

প্রশ্নে দেওয়া মানগুলো হলো:

• মুনাফা ($I$) = $P$
• মূলধন = $P$
• মুনাফার হার ($r$) = $P$
• সময় ($n$) = $4$ বছর

এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

অতএব, $P$ এর মান 25।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 25%। লাভ-ক্ষতির এই অংকটি খুব সহজ একটি ট্রিক দিয়ে সমাধান করা যায়।

ধরি, ১টি ডিমের ক্রয়মূল্য $1$ টাকা।

• ১২টি ডিমের ক্রয়মূল্য = $12$ টাকা।
• প্রশ্নমতে, ১২টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ১৫টি ডিমের ক্রয়মূল্য = $15$ টাকা।
• তাহলে ১২টি ডিমে লাভ হয় = $(15 - 12) = 3$ টাকা।

অতএব, শতকরা লাভের হার = $\frac{3}{12} \times 100\% = 25\%$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো শতকরা ১ ভাগ ক্ষতি। দুটি জিনিস একই বিক্রয়মূল্যে বিক্রি করা হলে একটিতে $x\%$ লাভ এবং অন্যটিতে $x\%$ ক্ষতি হলে মোটের ওপর সর্বদাই ক্ষতি হয়।

• সহজ শর্টকাট নিয়ম: ক্ষতি $= \frac{x^2}{100}\%$
• এখানে, $x = 10$
• হিসাব: $\frac{10^2}{100}\% = \frac{100}{100}\% = 1\%$

সুতরাং, মোটের ওপর শতকরা ১ ভাগ ক্ষতি হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4.24। বিষয়টি খুব সহজেই হিসাব করা যায়:

• প্রথমে $\sqrt{18}$-কে ভেঙে লিখলে পাই: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
• আমরা জানি, $\sqrt{2}$-এর মান হলো $1.414$ (প্রায়)
• সুতরাং, $3 \times 1.414 = 4.242$, যা আসন্ন মান হিসেবে দাঁড়ায় 4.24

এখানে সঠিক উত্তর হলো $-4 \le x \le 4$। কারণ পরমমানের (Absolute Value) অসমতা সমাধানের নিয়মটি খুবই সহজ।

যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা $a$ এর জন্য সাধারণ নিয়মটি হলো:

• যদি $|x| \le a$ দেওয়া থাকে, তবে পরমমান তুলে দিলে লেখা যায়: $$-a \le x \le a$$
• অতএব, $|x| \le 4$ অসমতাটির ক্ষেত্রে $a = 4$ বসিয়ে পাই: $$-4 \le x \le 4$$

সহজ কথায়, $x$ এর মান $-4$ এর থেকে ছোট হতে পারবে না এবং $+4$ এর থেকে বড় হতে পারবে না, অর্থাৎ মানটি $-4$ থেকে $+4$ সীমার ভেতরেই থাকবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭২০ ডিগ্রী। হিসাবটি খুবই সহজ:

• আমরা জানি, একটি চাকা $1$ বার পূর্ণ ঘুরলে $360^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
• চাকাটি $1$ মিনিট বা $60$ সেকেন্ডে ঘোরে $120$ বার।
• অতএব, $1$ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{120}{60} = 2$ বার।
• সুতরাং, $1$ সেকেন্ডে চাকাটি মোট ঘোরে $2 \times 360^\circ = 720^\circ$।

এখানে মোট আয়ের পরিমাণ (১,৮০০ টাকা) অপরিবর্তিত থাকায় শ্রমিকের সংখ্যার সাথে দিনের সম্পর্কটি ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, শ্রমিক বাড়লে একই আয় করতে সময় কম লাগবে।

সহজ শর্টকাট সূত্র $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$ প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর বের করা যায়:

• $6 \times 5 = 10 \times D_2$
• $30 = 10 \times D_2$
• $D_2 = \frac{30}{10} = 3$

সুতরাং, ১০ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করতে সময় নেবে ৩ দিন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৫ দিন। বিষয়টিকে ব্যস্তানুপাতিক নিয়মে খুব সহজেই চিন্তা করা যায়—লোকসংখ্যা বাড়লে দিনের সংখ্যা কমে যাবে।

• ১৫ জন লোকের খাবার চলে $40$ দিন।
• তাহলে ১ জন লোকের সেই খাবার চলবে $(15 \times 40)$ দিন।
• সুতরাং ৪০ জন লোকের খাবার চলবে: $$\frac{15 \times 40}{40} = 15$$ দিন।

সহজ ট্রিক: উপর-নিচের $40$ কেটে দিলে সরাসরি উত্তর থাকে ১৫ দিন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০ দিন। ঐকিক নিয়মে বা সহজ যুক্তিতে হিসাবটা করে ফেলা যায়:

• ১০ জনের খাবার আছে ৩০ দিনের, তাই মোট খাবারের পরিমাণ $= 10 \times 30 = 300$ জন-দিনের।
• নতুন ৫ জন অতিথি আসায় মোট লোকসংখ্যা দাঁড়ায় $= 10 + 5 = 15$ জন।
• সুতরাং, ১৫ জন মানুষের ঐ খাবার মোট চলবে $= \frac{300}{15} = 20$ দিন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০ দিন। লোকসংখ্যা বাড়লে খাবার দ্রুত শেষ হয়ে যায়, অর্থাৎ এটি একটি ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক।

আমরা খুব সহজেই ঐকিক নিয়মে বা শর্টকাটে এটি সমাধান করতে পারি:

• ১ জন লোকের খাদ্য চলবে $= 15 \times 40$ দিন
• অতএব, ২০ জন লোকের খাদ্য চলবে $= \frac{15 \times 40}{20} = 30$ দিন

সুতরাং, ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২০ জন লোকের মোট ৩০ দিন চলবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 5000 টাকা। হিসাবটি খুবই সহজ:

• ধরে নিই, পূর্বের বেতন ছিলো $100\%$।
• $15\%$ বৃদ্ধিতে বর্তমান বেতন দাঁড়ায় $(100 + 15)\% = 115\%$।
• প্রশ্নানুসারে, $115\% = 5750$ টাকা।
• তাহলে, পূর্বের বেতন ($100\%$) = $\frac{5750 \times 100}{115} = 5000$ টাকা।