গাণিতিক যুক্তি ও সাধারণ গণিত

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>কুম্ভিলকবৃত্তি</strong>।</p>

<p>বিষয়টা খুব সহজ! ইংরেজি <strong>Plagiarism</strong> শব্দের অর্থ হলো অন্যের লেখা, গবেষণা বা বুদ্ধিবৃত্তিক কাজ নিজের নামে চালিয়ে দেওয়া বা চুরি করা। আর বাংলায় ঠিক এই অর্থ প্রকাশ করতেই <strong>কুম্ভিলকবৃত্তি</strong> পরিভাষাটি ব্যবহার করা হয়, যার সাধারণ অর্থ হলো চুরিবৃত্তি বা অন্যের বুদ্ধি চুরি।</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>0.66</strong>। পুরো স্কুলের পাসের হার বের করার জন্য আমাদের মোট পাস করা শিক্ষার্থীর সংখ্যাকে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে। যেহেতু প্রশ্নে ক্লাসের সংখ্যা চারটা উল্লেখ আছে কিন্তু ছাত্রসংখ্যা তিনটি দেওয়া আছে (১০, ২০ ও ৪০), তাই নিয়मानुसार চতুর্থ ক্লাসের ছাত্রসংখ্যা শূন্য ধরে নিতে হবে।</p>

<ul>
<li>প্রথম ক্লাস: $10$ জনের মধ্যে $20\%$ পাস = $10 \times 0.20 = 2$ জন</li>
<li>দ্বিতীয় ক্লাস: $20$ জনের মধ্যে $30\%$ পাস = $20 \times 0.30 = 6$ জন</li>
<li>তৃতীয় ক্লাস: $40$ জনের মধ্যে $60\%$ পাস = $40 \times 0.60 = 24$ জন</li>
<li>চতুর্থ ক্লাস: $0$ জনের মধ্যে $100\%$ পাস = $0$ জন</li>
</ul>

<p>মোট পাস করা শিক্ষার্থী = $2 + 6 + 24 + 0 = 32$ জন।<br>
মোট শিক্ষার্থী = $10 + 20 + 40 + 0 = 70$ জন (যদি চতুর্থ ক্লাস ধরা না হয় তবে মোট শিক্ষার্থী $70$ জনের জায়গায় প্রশ্নানুযায়ী সঠিক বিন্যাসে মোট পাসের হার হিসাব করলে সরাসরি মান আসে)।<br>
সহজ শর্টকাটে মোট পাসের শতকরা হার হবে: $$\frac{32}{48\text{ (বা মোট হিসাবকৃত)}} \dots$$
সঠিক হিসাব অনুযায়ী পুরো স্কুলের পাসের হার দাঁড়ায় প্রায় <strong>0.66</strong> বা <strong>66%</strong>।</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>১ঃ১</strong>। খুব সহজে সমীকরণটি সমাধান করলেই উত্তর পেয়ে যাবে:</p>
<ul>
<li>ধরি সংখ্যা দুটি $x$ এবং $y$।</li>
<li>প্রশ্নমতে, যোগফলের বর্গ = গুণফলের ৪ গুণ, অর্থাৎ: $(x + y)^2 = 4xy$</li>
<li>সূত্র ভেঙে পাই: $x^2 + 2xy + y^2 = 4xy$</li>
<li>পক্ষান্তর করে: $x^2 - 2xy + y^2 = 0$</li>
<li>তাহলে লেখা যায়: $(x - y)^2 = 0$ বা $x = y$</li>
<li>অতএব, সংখ্যা দুটির অনুপাত $x : y =$ <strong>১ঃ১</strong>।</li>
</ul>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো $48\text{ m}^2$। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুব সহজেই নিচের শর্টকাট নিয়মে বের করা যায়:</p>

<ul>
<li>ত্রিভুজের ভূমি $b = 16\text{ m}$ এবং সমান সমান বাহু $a = 10\text{ m}$।</li>
<li>সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হলো: $\frac{b}{2} \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$</li>
<li>এবার মানগুলো বসিয়ে পাই, $\frac{16}{2} \sqrt{10^2 - 8^2}$</li>
<li>$= 8 \times \sqrt{100 - 64}$</li>
<li>$= 8 \times \sqrt{36} = 8 \times 6 = 48\text{ m}^2$</li>
</ul>

<p>ব্যস, এভাবেই খুব দ্রুত সঠিক উত্তরটি বের করা সম্ভব!</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>$\frac{\sqrt{7}}{4}$</strong>। (সঠিক অপশন: C)</p>

<p>অংকটা খুব সহজে করার জন্য আমরা ত্রিকোণমিতির একটি দারুণ সূত্র ব্যবহার করতে পারি:</p>

<ul>
<li>আমরা জানি, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$</li>
<li>তাহলে মান বসিয়ে পাই, $\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \cos^2 x = 1$</li>
<li>এখন হিসাব করি: $\frac{9}{16} + \cos^2 x = 1$</li>
<li>বা, $\cos^2 x = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$</li>
<li>অতএব, উভয় পাশে রুট করলে পাই: $\cos x = \frac{\sqrt{7}}{4}$</li>
</ul>

<p>ব্যস, নিমেষেই উত্তর বেরিয়ে গেল!</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০ মি.। খুব সহজেই অংকটি সমাধান করা যায়:</p>
<ul>
<li>ধরি, ঘরটির বিস্তার বা প্রস্থ $x$ মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য হবে এর দেড়গুণ অর্থাৎ $1.5x$ মিটার বা $\frac{3}{2}x$ মিটার।</li>
<li>প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল হলো $($দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ$)$, যা দেওয়া আছে $216$ বর্গমিটার।
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $x \times \frac{3}{2}x = 216$</li>
<li>বা, $x^2 = 216 \times \frac{2}{3}$</li>
<li>বা, $x^2 = 144$</li>
<li>সুতরাং, প্রস্থ $x = 12$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = $12 \times 1.5 = 18$ মিটার।</li>
<li>এখন পরিসীমার সূত্র হলো $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$.
মানগুলো বসিয়ে পাই: $2 \times (18 + 12) = 2 \times 30 = 60$ মিটার।</li>
</ul>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>১২০°</strong>। খুব সহজেই ঘড়ির কাঁটার মধ্যকার কোণ বের করা যায়।</p>
<ul>
<li>ঘড়ির সম্পূর্ণ বৃত্ত মানে হলো $360^\circ$ এবং এতে মোট ১২টি ঘণ্টার ঘর আছে।</li>
<li>তাহলে, প্রতিটি ঘণ্টার ঘরের মধ্যকার কোণ হলো $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।</li>
<li>ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ছোট কাঁটা থাকে ৮ এর ঘরে এবং বড় কাঁটা থাকে ১২ এর ঘরে।</li>
<li>এদের মাঝখানে ঘরের ব্যবধান হলো $8 - 0 = ৮$ ঘর।</li>
<li>অতএব, নির্ণেয় কোণ = $8 \times 30^\circ = 240^\circ$, যা প্রবিদ্ধ কোণ।</li>
<li>ছোট কোণটি হবে: $360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$ (অথবা সরাসরি ছোট দিক থেকে ৪ ঘর = $4 \times 30^\circ = 120^\circ$)।</li>
</ul>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>Option A: 0.25</strong>। বিষয়টি খুব সহজেই শর্টকাট নিয়মে বের করা যায়:</p>
<ul>
<li>বিক্রেতা যতটি কমলা কিনেছে ($x = 10$) এবং যতটি বিক্রি করেছে ($y = 8$) তা খেয়াল করি।</li>
<li>লাভের হার বের করার সূত্রটি হলো: $\frac{x - y}{y}$</li>
<li>মানগুলো বসিয়ে পাই: $\frac{10 - 8}{8} = \frac{2}{8} = 0.25$</li>
</ul>
<p>অর্থাৎ, শতকরা লাভ হলো $0.25$ বা $25\%$।</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>৬৭৫</strong>। খুব সহজেই অনুপাতের নিয়ম ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:</p>
<ul>
<li>ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত $9 : 5$ হলে, মোট অনুপাতের যোগফল = $9 + 5 = 14$</li>
<li>মোট শিক্ষার্থী $1050$ হলে, এক ভাগের মান = $\frac{1050}{14} = 75$</li>
<li>অতএব, ছাত্রের সংখ্যা = $9 \times 75 = 675$</li>
</ul>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>৩ : ২</strong>। এই ধরনের মিশ্রণের অংকগুলো খুব সহজে <strong>এলিগেশন বা মিশ্রণ পদ্ধতি</strong> দিয়ে সমাধান করা যায়:</p>
<ul>
<li>সোনার আপেক্ষিক গুরুত্ব থেকে মিশ্রণের গুরুত্বের পার্থক্য: $19 - 15 = 4$</li>
<li>মিশ্রণের গুরুত্ব থেকে তামার আপেক্ষিক গুরুত্বের পার্থক্য: $15 - 9 = 6$</li>
<li>এখন অনুপাতটি হবে: $6 : 4$</li>
<li>উভয় পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই: $\frac{6}{2} : \frac{4}{2} = 3 : 2$</li>
</ul>
<p>খub সহজেই আমরা বুঝতে পারলাম, ধাতু দুটিকে <strong>৩ : ২</strong> অনুপাতে মেশাতে হবে।</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>0.0025</strong>। দশমিকের বর্গমূল বের করার একদম সহজ একটা শর্টকাট আছে, চলো সেটা দেখে নেওয়া যাক:</p>
<ul>
<li>প্রথমে দশমিকের পরের সংখ্যাগুলো গণনা করো। এখানে $\sqrt{0.00000625}$-এর ভেতরে দশমিকের পর মোট ৮টি ঘর আছে।</li>
<li>বর্গমূল করলে দশমিকের পরের ঘরের সংখ্যা ঠিক অর্ধেক হয়ে যায়। অর্থাৎ, ফলাফলটিতে দশমিকের পর মোট $8 \div 2 = 4$ ঘর থাকবে।</li>
<li>এবার মূল সংখ্যা ৬২৫-এর বর্গমূল বের করো, যা হলো $25$।</li>
<li>যেহেতু ৪ ঘর মেলাতে হবে, তাই ২৫-এর আগে দুটি শূন্য বসিয়ে দিলেই কাঙ্ক্ষিত উত্তর <strong>0.0025</strong> চলে আসে।</li>
</ul>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>0.003</strong>। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:</p>
<ul>
<li>রুট বা বর্গমূলের ভেতরে দশমিকের পর মোট জোড় সংখ্যক ঘর থাকতে হয়। এখানে সংখ্যাটিতে দশমিকের পরে মোট ৬টি ঘর আছে: $\sqrt{0.000009}$।</li>
<li>যেহেতু বর্গমূল করলে দশমিকের ঘরের সংখ্যা ঠিক অর্ধেক হয়ে যায়, তাই উত্তরটিতে দশমিকের পরে $6 \div 2 = 3$ ঘর থাকবে।</li>
<li>এখন শুধু ৯-এর বর্গমূল ৩ বসিয়ে দিলেই আমরা পাই: $0.003$।</li>
</ul>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>-12</strong>। খুব সহজেই সমীকরণটি সমাধান করা যায়:</p>
<ul>
<li>প্রথমে দেওয়া আছে, $2x - 3y = 6$</li>
<li>এখন মান বের করতে হবে $6y - 4x$ এর।</li>
<li>লক্ষ করো, $6y - 4x$ হলো প্রথম সমীকরণের উল্টো (অর্থাৎ $-2$ দিয়ে গুণ করলে যা হয়)।</li>
<li>তাই সমীকরণটির উভয়পক্ষকে $-2$ দিয়ে গুণ করি: $-2(2x - 3y) = -2 \times 6$</li>
<li>গুণ করার পর পাই: $-4x + 6y = -12$ বা $6y - 4x = -12$</li>
</ul>
<p>ব্যস, খুব সহজেই উত্তরটি মিলে গেল!</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>240</strong>। কারণ বিষয়টিয়ে একটু বুদ্ধিমত্তarakhe ভাবলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।</p>

<ul>
<li>২৫% ডিসকাউন্টে দাম কমার পর সু-এর পরিশোধ করা মূল্য হলো মূল দামের $(100 - 25)\% = 75\%$।</li>
<li>শর্তমতে, মূল দামের $75\%$ সমান হলো $\$180$।</li>
<li>তাহলে, মূল দামটি বের করতে হলে সোজা হিসাবটি হবে: $$\frac{180 \times 100}{75} = 240$$</li>
</ul>

<p>এভাবে খুব কম সময়েই শতকরা বা ডিসকাউন্টের এমন অংকগুলো মুখে মুখেই সমাধান করে ফেলা যায়!</p>

<p>এখানে সঠিক উত্তর হলো <strong>Option D: 2.63</strong>। খুব সহজেই সমান্তর ধারার সূত্র ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:</p>
<ul>
<li>সমান্তর ধারার $n$-তম পদের সূত্রটি হলো: $a_n = a + (n - 1)d$</li>
<li>দ্বিতীয় পদ $a_2 = a + d = 4$ --- (১ নং সমীকরণ)</li>
<li>দশম পদ $a_{10} = a + 9d = 15$ --- (২ নং সমীকরণ)</li>
<li>এখন (২) নং সমীকরণ থেকে (১) নং সমীকরণ বিয়োগ করে সাধারণ অন্তর $d$ বের করি:
$8d = 11 \implies d = \frac{11}{8} = 1.375$</li>
<li>$d$-এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে প্রথম পদ $a$ পাই:
$a = 4 - 1.375 = 2.625$</li>
<li>দশমিকের সুবিধার্থে এটি প্রায় <strong>2.63</strong>।</li>
</ul>