গণিত প্রশ্ন ব্যাংক ও সমাধান - eProstuti - eProstuti

৪০৬

২৫ ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হল যেন এক অংশ অন্য অংশের ১/৪ হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য হবে--

A

৬ ফুট

B

৫ ফুট

C

৪ ফুট

D

৭ ফুট

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

৫ ফুট

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫ ফুট। খুব সহজেই অনুপাতের শর্টকাট টেকনিকে অংকটি সমাধান করা যায়:

<ul>
<li>ধরি, বড় অংশটি $4$ ভাগ হলে ছোট অংশটি হবে $1$ ভাগ (যেহেতু ১/৪ অংশ বলা হয়েছে)।</li>
<li>তাহলে বাঁশটির মোট অংশ = $4 + 1 = 5$ ভাগ।</li>
<li>প্রশ্নমতে, এই $5$ ভাগের মোট দৈর্ঘ্য $25$ ফুট।</li>
<li>সুতরাং, $1$ ভাগের বা ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য হবে $\frac{25}{5} = 5$ ফুট।</li>
</ul>

সহজ কথায়, ২৫ ফুটকে ৫ ভাগে ভাগ করলে ছোট অংশটি পায় ১ ভাগ, অর্থাৎ ৫ ফুট।

৪০৭

বনভোজনে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকা বাস ভাড়া করা হল এবং প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক করা হল। ১০ জন যাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া ৮ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল এবং প্রত্যেককে কত করে ভাড়া দিতে হল?

A

৩০ জন যাত্রী ছিল এবং প্রত্যেকে ৮০ টাকা

B

৪০ জন যাত্রী ছিল এবং প্রত্যেকে ৬০ টাকা

C

৫০ জন যাত্রী ছিল এবং প্রত্যেকে ৪৮ টাকা

D

৬০ জন যাত্রী ছিল এবং প্রত্যেকে ৪০ টাকা

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

৫০ জন যাত্রী ছিল এবং প্রত্যেকে ৪৮ টাকা

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০ জন যাত্রী ছিল এবং প্রত্যেকে ৪৮ টাকা। খুব সহজেই শর্তগুলো মিলিয়ে নেওয়া যায়:

<ul>
<li>বাসে যাওয়া ৫০ জন যাত্রীর মোট ভাড়া: $50 \times 48 = 2400$ টাকা।</li>
<li>যেহেতু ১০ জন যাত্রী আসেনি, তাই শুরুতে যাওয়ার কথা ছিল: $50 + 10 = 60$ জন।</li>
<li>তাহলে শুরুতে মাথাপিছু ভাড়া হওয়ার কথা ছিল: $\frac{2400}{60} = 40$ টাকা।</li>
<li>ফলে মাথাপিছু ভাড়া বৃদ্ধি পেয়েছে: $48 - 40 = 8$ টাকা, যা প্রশ্নের শর্তকে পুরোপুরি সিদ্ধ করে।</li>
</ul>

সুতরাং, বাসে প্রকৃতপক্ষে ৫০ জন যাত্রী গিয়েছিলেন এবং প্রত্যেকে ৪৮ টাকা করে ভাড়া দিয়েছিলেন।

৪০৮

বনভোজনে যাওয়ার জন্য ৫৭০০ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হয় এ শর্তে যে প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। ৫ জন যাত্রী না আসায় ভাড়া মাথাপিছু ৩ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল?

A

৮৫ জন

B

৯০ জন

C

৯৫ জন

D

৮৮ জন

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

৯৫ জন

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯৫ জন। শর্টকাটে পরীক্ষা করে খুব সহজেই বিষয়টি হিসাব করে ফেলা যায়:

<ul>
<li>বাসে যাত্রী গিয়েছিল $95$ জন হলে, শুরুতে যাওয়ার কথা ছিল $95 + 5 = 100$ জন।</li>
<li>তাহলে পূর্বে মাথাপিছু ভাড়া হতো $\frac{5700}{100} = 57$ টাকা।</li>
<li>কিন্তু $5$ জন না আসায় বর্তমান ভাড়া হয় $\frac{5700}{95} = 60$ টাকা।</li>
</ul>

দেখা যাচ্ছে, মাথাপিছু ভাড়া বৃদ্ধি পেয়েছে $60 - 57 = 3$ টাকা, যা প্রশ্নের শর্তের সাথে হুবহু মিলে যায়। সুতরাং বাসে মোট ৯৫ জন যাত্রী গিয়েছিল।

৪০৯

সমাধান করুনঃ ax - cy = 0 ay - cx = a2 - c2

A

x = a, y = c

B

x = c, y = a

C

x = - c, y = a

D

x = c, y = - a

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = c, y = a

ব্যাখ্যা:

এখানে সমীকরণ দুটি সিদ্ধ করে খুব সহজেই সমাধান বের করা যায়।

<ul>
<li>প্রথম সমীকরণ $ax - cy = 0$ থেকে পাই, $ax = cy$।</li>
<li>এখানে $x = c$ এবং $y = a$ বসালে বামপক্ষ হয়: $a(c) - c(a) = ac - ac = 0$, যা ১ম সমীকরণকে সিদ্ধ করে।</li>
<li>এবার দ্বিতীয় সমীকরণ $ay - cx = a^2 - c^2$-এ মানগুলো বসিয়ে পরীক্ষা করি:
$$a(a) - c(c) = a^2 - c^2$$</li>
</ul>

দেখা যাচ্ছে, মান দুটি উভয় সমীকরণকেই পুরোপুরি সিদ্ধ করে। তাই সঠিক সমাধান হলো $x = c, y = a$।

৪১০

সমাধান করুনঃ {√(x - 1) + √(x - 6)}/{√(x - 1) - √(x - 6)} = 5

A

x = 1

B

x = 6

C

x = 7

D

x = 10

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = 10

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $x = 10$। খুব সহজেই যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে এই সমাধানটি করে ফেলা যায়।

<ul>
<li>প্রদত্ত সমীকরণে যোজন-বিয়োজন করে পাই:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{5 + 1}{5 - 1}$$
$$\Rightarrow \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 6}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$</li>

<li>এখন উভয় পক্ষকে বর্গ করলে পাই:
$$\frac{x - 1}{x - 6} = \frac{9}{4}$$</li>

<li>এবার আড়াআড়ি গুণ করে মান বের করি:
$$9(x - 6) = 4(x - 1)$$
$$\Rightarrow 9x - 54 = 4x - 4$$
$$\Rightarrow 5x = 50$$
$$\Rightarrow x = 10$$</li>
</ul>

৪১১

সমাধান করুনঃ x - y = 2a ax + by = a2 + b2

A

x = 2a, y = 0

B

x = a, y = b

C

x = a - b, y = a + b

D

x = a + b, y = b - a

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = a + b, y = b - a

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x = a + b$ এবং $y = b - a$। অপশন টেস্ট বা মান বসিয়ে খুব সহজেই এটি যাচাই করা যায়:

<ul>
<li>প্রথম সমীকরণে মান বসিয়ে পাই: $x - y = (a + b) - (b - a) = a + b - b + a = 2a$</li>
<li>দ্বিতীয় সমীকরণে মান বসিয়ে পাই: $ax + by = a(a + b) + b(b - a) = a^2 + ab + b^2 - ab = a^2 + b^2$</li>
</ul>

যেহেতু দুটি সমীকরণই সঠিকভাবে সিদ্ধ হচ্ছে, তাই নির্ণেয় সমাধান: $x = a + b, y = b - a$।

৪১২

{√5 + √(5 - x)}/{√5 - √(5 - x)} = 5 হলে, x এর মান কত?

A

25/9

B

16/3

C

15/4

D

25/7

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

25/9

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{25}{9}$। যোজন-বিয়োজন (Componendo & Dividendo) পদ্ধতি ব্যবহার করে সহজেই উত্তরটি বের করে ফেলা যায়:

<ul>
<li>প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিতে যোজন-বিয়োজন করি:
$$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{5 - x} + \sqrt{5} - \sqrt{5 - x}}{\sqrt{5} + \sqrt{5 - x} - (\sqrt{5} - \sqrt{5 - x})} = \frac{5 + 1}{5 - 1}$$
$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5 - x}} = \frac{6}{4} \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5 - x}} = \frac{3}{2}$$
</li>
<li>এবার উভয়পক্ষকে বর্গ (square) করি:
$$\frac{5}{5 - x} = \frac{9}{4}$$
</li>
<li>কোণাকুণি গুণ করে সমাধান করি:
$$9(5 - x) = 20 \Rightarrow 45 - 9x = 20 \Rightarrow 9x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{9}$$
</li>
</ul>

৪১৩

সমাধান করুনঃ x/3 - 2/y = 1, x/6 + 4/y = 3

A

(2, 3)

B

(3, 2)

C

(6, 2)

D

(2, 6)

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

(6, 2)

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $(6, 2)$। সমীকরণ দুটোতে $x = 6$ এবং $y = 2$ বসিয়ে বিষয়টি খুব সহজে যাচাই করা যায়:

<ul>
<li>প্রথম সমীকরণ: $\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = \frac{6}{3} - \frac{2}{2} = 2 - 1 = 1$</li>
<li>দ্বিতীয় সমীকরণ: $\frac{x}{6} + \frac{4}{y} = \frac{6}{6} + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3$</li>
</ul>

যেহেতু উভয় সমীকরণেই মান দুটি সঠিকভাবে সিদ্ধ হচ্ছে, তাই নির্ণেয় সমাধান $(x, y) = (6, 2)$।

৪১৪

3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণে y এর মান কত?

A

-10

B

3/4

C

4/3

D

10

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

-10

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো -10। সমীকরণটি খুব সহজেই কোণাকুণি গুণ (cross-multiplication) করে সমাধান করে ফেলা যায়:

<ul>
<li>প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{3}{y + 1} = \frac{4}{y - 2}$</li>
<li>কোণাকুণি গুণ করে পাই: $3(y - 2) = 4(y + 1)$</li>
<li>বা, $3y - 6 = 4y + 4$</li>
<li>বা, $3y - 4y = 4 + 6$</li>
<li>বা, $-y = 10$</li>
<li>অতএব, $y = -10$</li>
</ul>

৪১৫

x/2 + y/3 = 1, x/3 + y/2 = 1 উপরিউক্ত সমীকরণ দু'টি থেকে (x, y) এর মান কত?

A

(6/5, 6/5)

B

(3/6, 3/6)

C

(2/3, 2/3)

D

(1/2, 1/2)

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

(6/5, 6/5)

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\left(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}\right)$। খুব সহজেই সমীকরণ দুটি সমাধান করে $x$ ও $y$ এর মান বের করা যায়:

<ul>
<li>প্রথম সমীকরণ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ থেকে পাই: $3x + 2y = 6$</li>
<li>দ্বিতীয় সমীকরণ $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$ থেকে পাই: $2x + 3y = 6$</li>
<li>প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বিয়োগ করলে পাই:
$$(3x + 2y) - (2x + 3y) = 6 - 6 \implies x - y = 0 \implies x = y$$
</li>
<li>এখন প্রথম সমীকরণে $y = x$ বসিয়ে পাই:
$$3x + 2x = 6 \implies 5x = 6 \implies x = \frac{6}{5}$$
</li>
</ul>

যেহেতু $x = y$, তাই $y = \frac{6}{5}$। অর্থাৎ $(x, y) = \left(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}\right)$।

৪১৬

15x - 9 = 11x - 25 হলে x এর মান কত?

A

x = 2

B

x = 9

C

x = - 4

D

x = 4

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = - 4

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: $x = -4$। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:
<ul>
<li>প্রথমে $x$ যুক্ত পদগুলোকে বামপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে ডানপাশে নিয়ে আসি: $$15x - 11x = -25 + 9$$</li>
<li>যোগ-বিয়োগ করে পাই: $$4x = -16$$</li>
<li>এখন উভয়পক্ষকে $4$ দিয়ে ভাগ করলেই $x$ এর মান চলে আসবে: $$x = \frac{-16}{4} = -4$$</li>
</ul>
সুতরাং, $x$ এর সঠিক মান হলো $-4$।

৪১৭

x/5 + 4 = 3x/10 + 6 এর সঠিক সমাধান কোনটি?

A

x = 15

B

x = 10

C

x = - 20

D

x = 20

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = - 20

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x = -20$। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

<ul>
<li>প্রথমে $x$ সংবলিত পদগুলোকে বামপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে ডানপাশে নিয়ে পাই:
$$\frac{x}{5} - \frac{3x}{10} = 6 - 4$$
</li>
<li>বামপাশে লসাগু ($10$) নিয়ে বিয়োগ করি:
$$\frac{2x - 3x}{10} = 2$$
$$\frac{-x}{10} = 2$$
</li>
<li>এবার আড়গুণন (cross multiplication) করলে পাই:
$$-x = 20 \implies x = -20$$
</li>
</ul>

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $x = -20$।

৪১৮

x/2 - x/3 = x/5 - 1/6 এর সঠিক সমাধান কোনটি?

A

x = 15

B

x = 2

C

x = 10

D

x = 5

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = 5

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $x = 5$। সমীকরণটি খুব সহজে সমাধান করা যায়:
<ul>
<li>প্রথমে বামপাশের অংশ বিয়োগ করি: $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{3x - 2x}{6} = \frac{x}{6}$</li>
<li>তাহলে মূল সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{x}{6} = \frac{x}{5} - \frac{1}{6}$</li>
<li>এবার $x$ সংবলিত পদগুলো একপাশে আনি: $\frac{x}{5} - \frac{x}{6} = \frac{1}{6}$</li>
<li>লসাগু করে পাই: $\frac{6x - 5x}{30} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{x}{30} = \frac{1}{6}$</li>
<li>অতএব, $x = \frac{30}{6} = 5$</li>
</ul>
সুতরাং, $x$-এর মান $5$-ই সঠিক।

৪১৯

(x + 1) (x + 2) = (x + 4) (x - 2) এর সঠিক সমাধান কোনটি?

A

x = - 5

B

x = 5

C

x = 10

D

x = - 10

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

x = - 10

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x = -10$। ব্র্যাকেট তুলে দিয়ে সাধারণ বীজগণিতীয় নিয়মে সমাধান করলেই খুব সহজে মানটি পেয়ে যাবে:

<ul>
<li>প্রথমে দুই পাশের গুণ সম্পন্ন করি: $x^2 + 3x + 2 = x^2 + 2x - 8$</li>
<li>উভয় পক্ষ থেকে $x^2$ বাদ দিলে পাই: $3x + 2 = 2x - 8$</li>
<li>এখন $x$ এর পদগুলো একপাশে ও সংখ্যাগুলো অন্যপাশে আনি: $3x - 2x = -8 - 2$</li>
<li>অতএব, $x = -10$</li>
</ul>

৪২০

6(2x + 3) = 14x এর সঠিক সমাধান কোনটি?

A

4

B

6

C

9

D

12

উত্তর সিলেক্ট করলে সঠিক ও ভুল দেখাবে।

বিস্তারিত

সঠিক উত্তর:

9

ব্যাখ্যা:

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:
<ul>
<li>প্রথমে ব্র্যাকেট ভেঙে গুণ করে পাই: $12x + 18 = 14x$</li>
<li>চলকগুলোকে একপাশে নিয়ে বিয়োগ করলে পাই: $14x - 12x = 18$</li>
<li>বা, $2x = 18$</li>
<li>সুতরাং, $x = \frac{18}{2} = 9$</li>
</ul>
অর্থাৎ, $x$ এর সঠিক মান হলো ৯।

গণিত

বিষয়ভিত্তিক · ব্যাখ্যাসহ এমসিকিউ অনুশীলন

গণিত

২৫ ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হল যেন এক অংশ অন্য অংশের ১/৪ হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য হবে--

সমাধান করুনঃ ax - cy = 0 ay - cx = a2 - c2

সমাধান করুনঃ {√(x - 1) + √(x - 6)}/{√(x - 1) - √(x - 6)} = 5

সমাধান করুনঃ x - y = 2a ax + by = a2 + b2

{√5 + √(5 - x)}/{√5 - √(5 - x)} = 5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান করুনঃ x/3 - 2/y = 1, x/6 + 4/y = 3

3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণে y এর মান কত?

x/2 + y/3 = 1, x/3 + y/2 = 1 উপরিউক্ত সমীকরণ দু'টি থেকে (x, y) এর মান কত?

15x - 9 = 11x - 25 হলে x এর মান কত?

x/5 + 4 = 3x/10 + 6 এর সঠিক সমাধান কোনটি?

x/2 - x/3 = x/5 - 1/6 এর সঠিক সমাধান কোনটি?

(x + 1) (x + 2) = (x + 4) (x - 2) এর সঠিক সমাধান কোনটি?

6(2x + 3) = 14x এর সঠিক সমাধান কোনটি?

Curiosity AI Assistant